خانه
گاما

درسنامه آموزشی فصل دوم هندسه (1) کلاس دهم علوم ریاضی

درس 4: کاربردهایی از قضیۀ تالس و تشابه مثلث‌ها

بازدید5/0 K
تاریخ بروزرسانی1401/09/1

نسبت اجزای فرعی، محیط‌ها و مساحت‌های دو مثلث متشابه

به عنوان مثال اگر مثلث‌های $A'B'C'$ و $ABC$ متشابه باشند و نسبت تشابه آنها $k$ باشد ($\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = k$) آنگاه:

الف) نسبت اندازه‌های ارتفاع‌های متناظر آنها $k$ است:

$\frac{{A'H'}}{{AH}} = k$

ب) نسبت اندازه‌های میانه‌های متناظر آنها $k$ است:

$\frac{{C'N'}}{{CN}} = k$

ج) نسبت اندازه‌های نیمسازهای متناظر آنها مساوی $k$ است:

$\frac{{B'D'}}{{BD}} = k$

در مورد محیط‌های دو مثلث نیز داریم:

$\frac{{{P_{A'B'C'}}}}{{{P_{ABC}}}} = \frac{{A'B' + A'C' + B'C'}}{{AB + AC + BC}} = k$

و در مورد مساحت‌ها داریم:

$\frac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = {k^2}$

اثبات: اگر درستی حکم را برای یکی از ارتفاع‌ها (میانه‌ها، نیمسازها) ثابت کنیم، درستی آن قابل تعمیم به سایر ارتفاع‌ها (میانه‌ها، نیمسازها) است. (چرا؟)

الف) ارتفاع‌ها

$\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'\,\,\,\,,\,\,\,\,\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = k$ فرض
$\frac{{A'H'}}{{AH}} = k$ حکم

چرا $\angle B = \angle B'$ بنابراین: $\Delta ABH \sim \Delta A'B'H'$ (چرا؟) از آنجا درستی حکم را نتیجه‌گیری کنید.

ب) میانه‌ها

$\Delta ABH \sim \Delta A'B'C'\,\,\,\,,\,\,\,\,\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{A'C'}}{{BC}} = k$ فرض
$\frac{{A'M'}}{{AM}} = k$ حکم

چرا $\angle B = \angle B'$؟

زیرا $A'\mathop {B'}\limits^\vartriangle  C' \sim A\mathop B\limits^\vartriangle  C$

$\frac{{B'M'}}{{BM}} = \frac{{\frac{1}{2}...}}{{\frac{1}{2}...}} = \frac{{....}}{{....}} = k \Rightarrow \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'M'}}{{BM}}$

بنابراین $\Delta A'B'M' \sim \Delta ABM$ (چرا؟) برابری یک زاویه و تناسب اضلاع همان زاویه از آنجا درستی حکم را نتیجه بگیرید.

$\frac{{A'B'}}{{AB}} = K \to \frac{{A'M'}}{{AM}} = K$

ج) نیمسازها

$\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'\,\,\,\,,\,\,\,\,\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = k$ فرض
$\frac{{B'D'}}{{BD}} = k$ حکم

چرا $\angle A = \angle A'$، چرا $\angle {B_2} = \angle {B'_2}$؟

$A'\mathop {B'}\limits^\vartriangle  C' \sim A\mathop B\limits^\vartriangle  C$

$\hat B = \hat B' \to \frac{{\hat B}}{2} = \frac{{\hat B'}}{2}$

بنابراین $\Delta A'B'D' \sim \Delta ABD$ (چرا؟) برابری دو زاویه از آنجا درستی حکم را نشان دهید.

$\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'D'}}{{BD}} = K$

د) محیط‌ها

به سادگی و به کمک ویژگی تناسب‌ها می‌توان نوشت:

$\Delta A'B'C' \sim \Delta ABC \Rightarrow \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = k \Rightarrow $

$\frac{{A'B' + A'C' + B'C'}}{{AB + AC + BC}} = k \Rightarrow \frac{{{P_{A'B'C'}}}}{{{P_{ABC}}}} = k$

ه‍) مساحت‌ها

دیدیم که نسبت ارتفاع‌های نظیر، مساوی نسبت تشابه است؛ بنابراین داریم:

$\frac{{A'H'}}{{AH}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = k$

$\frac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}A'H'.B'C'}}{{\frac{1}{2}AH.BC}} = \frac{{A'H'}}{{AH}} \times \frac{{B'C'}}{{BC}} = k.k = {k^2}$

کار در کلاس (صفحه 47 کتاب درسی)

 

چهارضلعی‌های متشابه $A'B'C'D'$ و $ABCD$ مفروض‌اند.

1- اگر نسبت تشابه دو چهارضلعی، $k$ باشد، ثابت کنید نسبت محیط‌های آنها مساوی $k$ است.

$\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = K \to \frac{{AB + AC + BC}}{{A'B' + A'C' + B'C'}} = K$

2- قطرهای $AC$ و $A'C'$ را رسم کنید. نشان دهید:

$\Delta ACD \sim \Delta A'C'D'\,\,\,\,,\,\,\,\,\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$

نسبت تشابه‌ها چیست؟

$\frac{{AD}}{{A'D'}} = \frac{{DC}}{{D'C'}}\,\,,\,\,\,\hat D = \hat D'$

$\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}\,\,,\,\,\,\hat B = \hat B'$

3- جاهای خالی را پر کنید:

${k^2} \Rightarrow \frac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{A'B'C'D}}}} = {k^2}$$ \Rightarrow \frac{{{S_{A'C'D'}} + {S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ACD}} + {S_{ABC}}}} = $${k^2}$$,\frac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = $${k^2}$$\frac{{{S_{A'C'D'}}}}{{{S_{ACD}}}} = $

بنابراین نسبت مساحت‌های دو چهارضلعی، مساوی مربع نسبت تشابه آنهاست. به همین ترتیب می‌توانیم نسبت محیط‌ها و مساحت‌های هر دو $n$ ضلعی متشابه را به‌صورت زیر ثابت کنیم:

مثال: محیط یک مثلث متساوی‌الاضلاع سه برابر محیط مثلث متساوی‌الاضلاع دیگر است. مساحت مثلث بزرگ‌تر، چند برابر مساحت مثلث کوچک‌تر است؟

حل: می‌دانیم مثلث‌های متساوی‌الاضلاع همواره با هم متشابه‌اند (چرا؟) بنابراین نسبت محیط‌های آنها، نسبت تشابه آنهاست، یعنی $k = 3$ بنابراین: $\frac{S}{{S'}} = {k^2} = 9$ یعنی مساحت مثلث بزرگ‌تر، 9 برابر مساحت مثلث کوچک‌تر است.

کار در کلاس (صفحه 48 کتاب درسی)

 

1- اندازهٔ محیط‌های دو مثلث متشابه به ترتیب 10 و 18 واحد است. اگر مساحت مثلث بزرگ‌تر 15 واحد سطح باشد، مساحت مثلث کوچک‌تر، چند واحد سطح است؟

$\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{s}{{s'}} = k'} \\ 
  {\frac{p}{{p'}} = k} 
\end{array} \to \frac{s}{{s'}} = \frac{{10}}{{18}} \to \frac{s}{{15}} = \frac{{10}}{{18}}$

$S = \frac{{50}}{6} = \frac{{25}}{3}$

2- نسبت مساحت‌های دو پنج‌ضلعی متشابه، $\frac{4}{9}$ است. اگر محیط یکی از آنها 12 واحد باشد، محیط پنج‌ضلعی دیگر چند واحد است؟ (چند جواب داریم؟)

$\frac{4}{9} = \frac{{12}}{x} \to x = 27$

$\frac{4}{9} = \frac{x}{{12}} \to x = 5/3$

3- اندازه‌های اضلاع یک هفت ضلعی را سه برابر می‌کنیم؛ بدون اینکه اندازه‌های زاویه‌ها را تغییر دهیم. مساحت هفت‌ضلعی چند برابر می‌شود؟

49 برابر

فعالیت (صفحه 48 کتاب درسی)

 

در شکل زیر $EF = 10cm$ نیمساز دو زاویهٔ متقابل به رأس $O$ است و $\angle B = \angle C$.

الف) چرا مثلث‌های $OAB$ و $OCD$ متشابه‌اند؟

متقابل به رأس ${\hat O_1} = {\hat O_2}$

ب) اگر $\frac{{OB}}{{OC}} = \frac{2}{3}$، نسبت $\frac{{OE}}{{OF}}$ چقدر است؟

$\hat B = \hat C$

ج) طول‌های $OE$ و $OF$ را به‌دست آورید.

$\frac{{OE}}{{OF}} = \frac{2}{3} \to \frac{{OE + OF}}{{OF}} = \frac{5}{3} \to \frac{{10}}{{OF}} = \frac{5}{3} \to OF = 6\,\,,\,\,OE = 4$

تمرین (صفحه 48 تا 49 کتاب درسی)

 

1- طول‌های اضلاع یک مثلث 10 و 12 و 15 سانتی‌متر است و طول بلندترین ضلع مثلثی متشابه آن، 10 سانتی‌متر است. محیط مثلث دوم را به‌دست آورید.

$\frac{{15}}{{10}} = \frac{p}{{p'}}$

$\frac{{15}}{{10}} = \frac{{37}}{{p'}} \to p' = \frac{{\cancel{{{}^210}} \times 37}}{{{{\cancel{{15}}}_3}}} = \frac{{74}}{3}$

2- در شکل زیر $BC||MN$ است و مساحت ذوزنقهٔ $MNCB$ هشت برابر مساحت مثلث $AMN$ است. نسبت $\frac{{MB}}{{MA}}$ را به‌دست آورید.

$S' = 8S \to \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AMN}}}} = 9$

$\frac{{AB}}{{AM}} = 3$

$\frac{{x + y}}{x} = 3 \to \frac{{\cancel{x} + y - \cancel{x}}}{x} = \frac{{3 - 1}}{1}$

$\frac{y}{x} = \frac{2}{1}$

3- در شکل زیر می‌دانیم $BE = 2DE$ است. اولاً $x$ و $y$ را به‌دست آورید. ثانیاً نسبت مساحت مثلث $BCD$ به مساحت $ABE$ را بیابید.

$2x - 1 = y + 15$

$2x - 7 = x + y$

$\left\{ \begin{gathered}
  2x - y = 16\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 9 \hfill \\
  x - y = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

4- در مثلث قائم‌الزاویهٔ $(\angle A = {90^ \circ })ABC$ ارتفاع $AH$ را رسم می‌کنیم. می‌دانید که $\Delta ABH \sim \Delta ABC \sim \Delta ACH$ است. با توجه به این موضوع،

الف) ثابت کنید:

$\frac{{{S_{ABH}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2},\frac{{{S_{ACH}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2}$

ب) با جمع کردن دو طرف تساوی‌های بالا و ادامهٔ کار، درستی قضیهٔ فیثاغورس را نتیجه‌گیری کنید.

$\frac{{{S_{ABH}} + {S_{ACH}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1 \to B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

5- مطابق شکل، روی یک ساختمان، یک آنتن به ارتفاع 3/2 متر نصب شده است. در فاصله 60 متری ساختمان، یک تیر برق 6 متری قائم وجود دارد و یک ناظر وقتی در فاصله 20 متری تیر می‌ایستد، انتهای آنتن و انتهای تیر برق را در یک راستا می‌بیند. اگر بدانیم فاصلهٔ چشمان ناظر از زمین 1/6 متر است، بلندی ساختمان را محاسبه کنید.
(از چشم ناظر خط راستی موازی زمین رسم کنید تا تیر برق و ساختمان را قطع کند. از قضیۀ تالس کمک بگیرید.)

$\frac{{20}}{{80}} = \frac{{4/4}}{x} \to x = 17/6 \Rightarrow $

$h = (\underbrace {17/6 - 3/2}_{14/4}) + 1/6$

$h = 16m$

6- در دوربین‌های قدیمی، موقع عکس‌برداری، روی یک حلقهٔ فیلم تعداد محدودی (مثلاً سی و شش عدد) تصویر منفی ثبت، و سپس این فیلم ظاهر می‌شود و عکس‌ها از روی آن چاپ می‌شوند. اگر فرض کنیم عرض یکی از این فیلم‌ها، $35mm$ و فاصلهٔ آن درون دوربین تا عدسی، $4/2cm$ و فاصله عدسی تا درختی که از آن عکس می‌گیرد، $6m$ باشد، اندازهٔ واقعی درختی که از آن عکس گرفته می‌شود، چند متر است؟

$\frac{{3/5}}{h} = \frac{{4/2}}{6} \Rightarrow h = 5$

درس 4: کاربردهایی از قضیۀ تالس و تشابه مثلث‌ها